MECÂNICA QUÂNTICA II

Curso de Eng. Física

Série 2

1. Interprete fisicamente a experiência de Bohm-Aharonov, usando a formulação da mecânica quântica não relativista de Feynman. Verifique que as quantidades fisicamente observáveis dependem apenas dos campos.

2. Usando a formulação da mecânica quântica não relativista de Feynman, obtenha:

a) a lei de transformação da função de onda numa transformação de Galileu, $\vec{x}^{\prime}=\vec{x} + \vec{V}t$, $t^{\prime}=t$.

b) Verifique que a equação de Schrödinger, para uma partícula num potencial $\phi$, é invariante numa transformação de Galileu.

3. Usando a formulação da mecânica quântica não relativista de Feynman, obtenha o elemento de matriz do operador de evolução para:

a) uma partícula livre,

b) um oscilador harmónico.

4. A função de Wigner é definida por

$$\rho (x,p) = \int dy \psi \left( x+\frac{y}{2}\right) \psi^* \left(x-\frac{y}{2} \right) e^{-\frac{i}{\hbar} py}.$$

a) Mostre que

$$\int \rho(x,p) \frac{dp}{2 \pi \hbar} = \vert \psi(x)\vert^2$$

$$\int \rho(x,p) dx = \vert \psi(p)\vert^2$$

b) Mostre que a definição dada é equivalente a

$$\rho(x,p) = \int \frac{dx^{\prime} dp^{\prime}}{2 \pi \hbar}... ...(x^{\prime}p-p^{\prime}x)} \tilde{\rho}(x^{\prime}, p^{\prime})$$

$$\tilde{\rho} (x^{\prime},p^{\prime}) = Tr e^{-i(\hat{x}p^{\prime}-\hat{p} x^{\prime})} \hat{\rho}$$

em que a matriz densidade é $\hat{\rho} = \vert\psi\gt<\psi \vert$ o que corresponde à definição em mecânica clássica

$$\rho(x,p) = < \delta(x-x(t)) \delta(p-p(t))\gt$$