MECÂNICA QUÂNTICA II

Curso de Eng. Física

Série 1

1. Considere uma partícula que se move a uma dimensão, no patamar de potencial com a descontinuidade no ponto x=a, i. e., para o qual se tem V(x)=V₁, para x<a e V(x)=V₂, para x>a. A função de onda é $\psi(x) = A e^{i k_1 x} + B e^{-i k_1 x}$, para x<a e $\psi(x) = C e^{i k_2 x} + D e^{-i k_2 x}$, para x>a.

a) Determine as amplitudes de reflexão r, e de transmissão t, da esquerda para a direita, e as amplitudes de reflexão $r^{\prime}$, e de transmissão $t^{\prime}$, da direita para a esquerda, definidos por $B = r A + t^{\prime} D$ e $C = t A + r^{\prime} D$.

Verifique que os coeficientes de reflexão R=|r|² e de transmissão $T=\frac{k_2}{k_1}\vert t\vert^2$ da esquerda para a direita, satisfazem R+T=1, e que o mesmo se verifica para os coeficientes no sentido inverso.

b) Considere dois patamares de potencial consecutivos, nos pontos x=a e x=b. Determine as amplitudes de reflexão e de transmissão efectiva do conjunto dos dois patamares, em função dos coeficientes de cada um dos patamares. Verifique que os coeficientes de reflexão e de transmissão totais R_T e T_T continuam a verificar R_T+T_T=1.

c) Interprete geométricamente os resultados obtidos em termos de reflexões e transmissões sucessivas entre os dois patamares.

d) Em que condições se dá o anulamento do coeficiente de reflexão?

2. (a) Obtenha os níveis de energia e as funções de onda de uma partícula que se move a uma dimensão sob a acção de um potencial do tipo

$$U(x)= A \left( e^{-2 \alpha x} -2 e^{-\alpha x} \right).$$

(b) Resolva o mesmo problema considerando agora um potencial do tipo

$$U(x)=-\frac{U_0}{\cosh^2\alpha x}$$

3. Considere uma partícula livre sob a acção de um campo magnético uniforme orientado segundo o eixo dos z. Resolva a equação de Schrödinger considerando (a) a gauge de Landau

$$\vec{A} = (-B y,0,0)$$

e (b) a gauge simétrica

$$\vec{A}= \frac{1}{2} \vec{B} \times \vec{r}.$$

4. Determine os níveis de energia e as funções de onda de um oscilador harmónio isótropo a duas dimensões, $V(r)=m\omega_0^2 r^2/2$ (onde r²=x²+y²), resolvendo a equação de onda em coordenadas Cartesianas. Determine a degenerescência de cada nível. Escreva a função de onda do estado fundamental e de cada um dos primeiros estados excitados.

b) Escreva a equação de Schrödinger para este problema em coordenadas polares. Construa explicitamente as funções de onda dos primeiros estados excitados, com momento angular $+\hbar$ e $-\hbar$. Estas funções de onda são combinações lineares das funções de onda obtidas na alínea a).

5. Um método elegante de resolver o problema do átomo de Hidrogénio, devido a Schwinger, consiste em transformar a equação radial do átomo de Hidrogénio na equação radial de um oscilador harmónio isótropo a duas dimensões. Para isso, substitua r pela variável $\lambda \rho^2/2$, em que $\lambda$ é uma constante a determinar, e faça R_n,l(r), a função radial do átomo de Hidrogénio, igual a $F(\rho)/\rho$.

a) Mostre que $F(\rho)$ safisfaz a equação radial de um oscilador harmónio a duas dimensões, de frequência $\omega=\sqrt{-2\lambda^2 E/m}$, com momento angular 2l+1 e energia $2e^2\lambda$, sendo E a energia do nível do átomo de Hidrogénio.

b) Obtenha, usando os resultados do problema anterior, as energias e o grau de degenerescência dos níveis de energia.

c) Use este método para obter explicitamente a função de onda normalizada do estado fundamental do átomo de Hidrogénio.