MECÂNICA QUÂNTICA II

Curso de Eng. Física

Série 0

1. Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogénio. Determine os níveis de energia e os raios das órbitas. Qual é a distância mais provável para encontrar o electrão no estado n = 2, l = 1? O que poderemos dizer da forma da órbita?

2. Um átomo de hidrogénio é descrito por uma função de onda, $\psi(\vec{r},t) = A \psi_{100}(\vec{r},t) +$$B \psi_{211}(\vec{r},t) + C \psi_{21-1}(\vec{r},t)$ onde A e B são constantes reais e positivas. Sabendo que neste estado, $< L_z \gt= 7/18\hbar$ e $< L^2 \gt= \hbar^2$, determine:

a) as constantes A,B,C.

b) <E>

c) <r>.

3. Um átomo é descrito por uma função de onda da forma $\psi = Af(r) + Bg(r) \cos\theta$, onde A, B são constantes e f(r), g(r) são funções de r normalizadas à unidade. Qual é a probabilidade de o átomo ter l = 0? E l = 1? E l > 1? Determine o valor médio de L² e de L_z e a relação entre A e B.

4. Um átomo de hidrogénio está num estado em que o electrão ocupa o nível 2p. Determinar a frequência do fotão emitido quando o átomo regressa ao estado fundamental. O que sucede se o átomo for colocado num campo magnético de 5 T antes do decaimento?

5. Considere uma função de onda Gausseana $\psi(x)=e^{-\frac{a}{2}x^2+bx+c}$, sendo a, b, c constantes complexas, com $\Re a \gt 0$.

a) Qual é a condição de normalização da função de onda?

b) Calcule < x > e < p >.

c) Verifique que $(p-< p \gt)\psi$ e $(x-< x \gt)\psi$ são proporcionais. Calcule a constante de proporcionalidade.

d) Calcule $\Delta x$ e $\Delta p$. Quando é a relação de incerteza de Heisenberg minimizada?

e) Verifique que a função de onda se pode reescrever na forma

$$\psi(x)=\left(\frac{a_r}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{a}{2}(x-<x\gt)^2+\frac{i}{\hbar}<p\gt x+id}$$

em que $a_r=\Re a$ e d é uma nova constante real. Interprete esta expressão para a função de onda.

6. Mostre que:

[x,k_xⁿ] = i n k_x^n-1

$$[x, G(k_x)] = i \frac{\partial G}{\partial k_x}$$

7. Uma partícula tem spin 1/2. Faz-se uma medição da soma das componentes x e z do momento angular de spin. (a) Quais são os resultados possíveis ? Em seguida mede-se a componente y do momento angular de spin. (b) Calcule as probabilidades dos resultados $\pm 1/2$.

8. Construir os estados de spin total de dois electrões independentes.

9. Construir os estados de momento angular total de duas partículas independentes, com j₁ = 1 e J₂ = 1/2.

Formulário

$$I_n = \int_0^x x_0^n e^{x_0} dx_0 = x^n e^x - n I_{n-1} ; I_0 = e^x - 1.$$

$$Y_{00} = 1/\sqrt{4\pi}; Y_{10} = \sqrt{3/4\pi}\cos\theta; Y_{1\pm 1} = \mp\sqrt{3/8\pi} e^{\pm i\phi} \sin\theta.$$

R₁₀ = A e^-Zr/a₀; R₂₀ = B(2 - Zr/a₀) e^-Zr/(2a₀); R₂₁ = C(Zr/a₀) e^-Zr/(2a₀).

$$A = 2(Z/a_0)^{3/2}; B = (Z/2a_0)^{3/2}; C = (Z/2a_0)^{3/2}/\sqrt{3}.$$